運用 MathWorks® 模型預測控制工具箱實現 Qube-Servo 3 倒單擺平衡控制

錫昌科教
8月18日
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模型預測控制（Model Predictive Control, MPC）發展已久，近年在自動駕駛車輛的車道維持等任務中找到了全新應用。同樣地，MPC 過去主要用於製程控制工業中具備慢動態（slow dynamics）特性的受控對象，現在也可應用於高動態、高響應的運動控制情境，例如倒單擺的平衡控制。本文將展示如何結合 The MathWorks® 的 Model Predictive Control Toolbox™ 與 Simulink®，為 Qube-Servo 3 系統開發 MPC 平衡控制器。

將模型預測控制 (MPC) 應用於 Qube-Servo 3

如下圖所示，Quanser Qube-Servo 3 攜帶式旋轉倒單擺可配置為直流馬達或倒單擺系統，廣泛應用於控制系統的教學與研究。在隨附的教材中，我們深入探討了如何設計狀態回授控制器（例如使用線性二次調節器 LQR）來實現單擺平衡。狀態回授控制遵循基於模型的設計方法，且具備優異效能。然而，它並未考量未建模的不確定性與外在干擾（例如編碼器訊號線的影響）。若模型無法精準代表實際系統，控制器的表現便可能不如預期。

MathWorks® Model Predictive Control Toolbox 使設計與實現 MPC 控制器變得相當簡便。MPC 設計的第一步是定義各項輸入與輸出訊號及其邊界限制。圖 2 展示了 MPC 控制器中所使用的受控對象模型訊號。使用者仍需具備代表性的系統模型，但由於 MPC 的自適應特性，控制設計的需求相對降低，且更能補償參數不確定性與外在干擾帶來的影響。

***圖 2 –*** *MPC 控制器中使用的受控對象模型訊號* （來源：https://www.mathworks.com/help/mpc/gs/mpc-modeling.html）

Qube-Servo 3 之 MPC 設計

取樣時間（Sample Time）、預測時域（Prediction Horizon）與控制時域（Control Horizon）是建立 MPC 時的核心參數。預測與控制時域必須根據應用所需的取樣時間進行調整。詳細設計指引請參閱「選擇取樣時間與時域（Choose Sample Time and Horizons）」。

實現 Qube-Servo 3 倒單擺的平衡控制，通常需要至少 200 Hz 的執行頻率以維持良好效能。在標準的狀態回授控制中，通常採用 500 Hz 的取樣率以獲得更佳的控制效果。但在 MPC 中，使用更高的取樣率意味著需要更長的預測時間，從而大幅增加運算負擔。設計指引T ~ N_pT_s（其中T為預期閉迴路響應時間，T_s為取樣間隔）提供了一個良好的設計起點。若期望獲得 0.25 秒的閉迴路響應，則預測時域大約需設定為 N_p = 125。此設定可作為初始值，隨後在閉迴路模擬中進行微調，以達到目標響應並確保運算量在可接受範圍內：

Ts = 0.002; % 取樣間隔 (s)

Np = 150; % 預測時域

Nc = 2; % 控制時域

qube_ip_mpc = mpc(rotpen_ss, Ts, Np, Nc); % MPC 控制器

Qube-Servo 3 的控制輸入（即操縱變數，MV）為馬達電壓，功率放大器的建議最大輸出為 ±10V。量測輸出（MO）則為旋轉臂與倒單擺角度。在平衡模式下，假設控制指令維持在合理區間且系統未失去控制，旋轉臂通常不會超過 ±60度。平衡控制僅在單擺位於垂直向上 ±10 度範圍內時才會啟動。基於上述條件，我們可以針對操縱變數（MV）與量測輸出（MO）設定以下最小/最大限制及縮放因子：

% 控制輸入最小值/最大值(V)

u_max = 10;

u_min = -10;

% 旋轉臂角度最小值/最大值(rad)

theta_min = -60*pi/180;

theta_max = 60*pi/180;

% 最小/最大倒單擺擺角(rad)

alpha_min = -10*pi/180;

alpha_max = 10*pi/180;

指定輸入與輸出的比例因子

qube_ip_mpc.ManipulatedVariables.ScaleFactor = u_max-u_min;

qube_ip_mpc.OutputVariables(1).ScaleFactor = theta_max-theta_min; qube_ip_mpc.OutputVariables(2).ScaleFactor = alpha_max-alpha_min;

設定操縱變數（馬達輸入）的最大/最小值

qube_ip_mpc.ManipulatedVariables.Min = u_min;

qube_ip_mpc.ManipulatedVariables.Max = u_max;

操縱變數與輸出變數的權重通常是微調控制效能的關鍵，這是一個透過閉迴路模擬反覆進行的優化過程。經過數次疊代後，最終確定使用以下權重：

qube_ip_mpc.Weights.ManipulatedVariables = 0;

qube_ip_mpc.Weights.ManipulatedVariablesRate = 0.1;

qube_ip_mpc.Weights.OutputVariables = [10 5];

輸出變數權重自 [1 0] 進行了調整。第一個權重影響旋轉臂，調整至 10 以獲得更佳的目標追蹤能力；第二個權重與單擺相關，提高該值可大幅降低偏擺幅度。

註：在此範例中，若對輸出變數加入最小/最大限制，會導致 MPC 建構過程極為緩慢。針對此應用，最佳做法是先從較少的限制條件開始，再進行模擬測試。

模型預測控制–執行模擬

Quanser Qube-Servo 3 系統提供完整的檔案，包含學生與教師教材，以及用於設計與模擬基於 LQR 狀態回授平衡控制的 Simulink® 模型和 MATLAB 腳本。上述設計的 MPC 控制器是透過 Model Predictive Control Toolbox™ 中的 MPC Controller 模組實現。隨附的狀態回授 Simulink® 模型已進行修改，加入 MPC Controller 模組，如下圖所示：

***圖 3 –*** *用於模擬 Qube-Servo 3 倒單擺 MPC 平衡控制的 Simulink 模型*

此 Simulink 架構圖包含 Qube-Servo 3 倒單擺的非線性模型，以取得更接近真實系統的響應。當單擺自偏離垂直平衡位置 9 度啟動時，旋轉臂與單擺的響應顯示於 Rotary Arm (deg) 與 Inverted Pendulum (deg) 示波器中；施加於馬達的電壓則顯示於 Vm (V) 示波器。

模型預測控制–於虛擬系統上執行

QLabs Virtual Qube-Servo 3 系統包含 Qube-Servo 3 的高擬真非線性動態模型，整合了摩擦力、硬體極限、感測器雜訊等傳統模型未考慮的物理特性。如同模擬階段，我們透過 Model Predictive Control Toolbox™ 中的 MPC Controller 模組，將上述設計的 MPC 部署至虛擬實驗中。此處使用了 Enabled Subsystem 模組，僅在單擺進入垂直向上約±10度範圍時才啟動 MPC 控制器。這能確保內建的卡爾曼濾波器（Kalman filter）精準估算系統狀態；否則估算過程將耗時過長，導致無法順利實現單擺平衡（即系統失去控制）。

於虛擬Qube-Servo 3上執行倒單擺MPC平衡控制的Simulink模型 — ***圖 5 –*** *於虛擬 Qube-Servo 3 上執行倒單擺 MPC 平衡控制的 Simulink 模型*

下方的示波器顯示了當單擺自下方向上抬升並於虛擬 Qube-Servo 3 上啟動平衡控制時的響應。

該響應與模擬結果略有不同。在虛擬系統中，可觀察到響應包含些許高頻成分，這主要歸因於虛擬系統中納入了編碼器量子化 (quantization) 的物理效應。

模型預測控制–於硬體上執行

下方的 Simulink 模型將設計好的 MPC 控制器部署於 Quanser Qube-Servo 3 硬體上。如同在虛擬受控對象中的設定，MPC 控制同樣透過 Model Predictive Control Toolbox™ 的 MPC Controller 模組實現。硬體介面連接與即時程式碼部署則是透過 QUARC即時控制軟體完成。

圖 7 – 於 Qube-Servo 3 硬體上實現倒單擺 MPC 平衡控制的 Simulink 模型 — ***圖 7 –*** *於 Qube-Servo 3 硬體上實現倒單擺 MPC 平衡控制的 Simulink 模型*

下圖展示了透過 QUARC 在硬體上執行 MPC 時的代表性響應，其趨勢與虛擬孿生系統高度吻合。

未來展望

模型預測控制（MPC）可應用於多種不同的系統中，且 MPC 控制器本身亦有許多衍生架構。針對 Qube-Servo 3 倒單擺，我們設計並實現了標準的隱式 MPC 控制（implicit MPC）。未來計畫進一步探索 Simulink® Model Predictive Control Toolbox™ 中提供的其他 MPC 類型。目前已在進行的應用之一，即是利用非線性 MPC（Nonlinear MPC）來執行單擺的起擺（swing-up）控制，非線性 MPC 允許直接利用非線性模型完成此類複雜任務。